15.数学、予測、物理定数（パラメーター）の求め方について


　次は、湯川秀樹氏の言葉である。

　「より高度の、より抽象的な数学が役に立つということは、同時に今まで私たちが物理だと思っていたものから、どんどんと離れていかざるを得ないことを意味しています。　ただむつかしいだけではなしに、あまりにも抽象的なので、私たちがそれに対する物理的なイメージをつかもうと思っても、なかなかつかめないのです。
　〜。
　〜。　一体自分たちは何をやっているのか、何を問題にしているのか、問題がだんだん煎じ詰められていって、結局非常に抽象化された数学的な関係を見つけ出すことだけに話が落ち着く。物理学者の出発点であった自然界──それに対して最初持っていた具体的なイメージから、あまりにもかけはなれてしまっている。行きつく先は何かを考えると、空虚である。壮大なビジョンはない。そう感じるようになれば、それは明らかに老化の一つの徴候であります。これを救うものがあるとするならば、それは、やはり、私たちの考え方の根本的な変革による本当の若返りでありましょう。」（湯川秀樹自選集2　p230〜232）　※アンダーラインは、筆者による。

　「今日の理論物理学では、抽象化、一般化が極度にまで進んでいる。直観がほとんどきかなくなっている。〜。出発点に何か直観的なイメージがあったが、それをだんだん一般化、抽象化してゆく。その結果として、最初のイメージは捨てられ、ある抽象的な形式だけが残る。残ったものをいじくりまわしても、本当に新しいものは出てこない」（湯川秀樹自選集4　p35）　※アンダーラインは、筆者による。

　「第一には、前に指摘しましたように抽象ということは、単独では働きようがないということです。みのりある科学的思考なら、どんな場合でもつねに直観と抽象の相互作用がみられます。
　〜第二には、抽象的、数学的な論理形式もつねに、ある科学的な思考の最終結果としてつくり出されたものであり、そこに達するまでには直観が普通気づかれている程度よりもずっと重要な役割を演じていたことも忘れてはならない、ということです」　（湯川秀樹自選集4　p272）　　※アンダーラインは、筆者による。　

　この文章は、1971年の本の中の文章である。

　なぜ、これらの文章を挙げたのか？

　1つは、「より高度の、より抽象的な数学」にもとづいている、現在の理論物理学の世界にも、あてはまるところがあると思われるからである。

　そして、もう1つは、「一般3Steps理論および“EMOES”（素スピノールからの創発モデル）が存在することの意味」が、よく理解できるようになると思われるからである。
　つまり──　 「あまりにも抽象的なので、私たちがそれに対する物理的なイメージをつかもうと思っても、なかなかつかめない」、「直観がほとんどきかなくなっている。」、「本当に新しいものは出てこない」という問題を解決する可能性を持つものとして、一般3Steps理論＆“EMOES”（素スピノールからの創発モデル）には、価値や意義があるということが理解できるからである。



　これまでの考察──“EMOES”（素スピノールからの創発モデル）は、主に、次の、3つの“3Steps原理”に基づいて育まれていると言える。

　つまり、これまでの考察を、数学的な観点で見るならば──　 抽象的な数式がメインではなく、具体的な幾何をメインにして考察を進めてきたと言える。
　（つまり、数学的に見れば──　 3Steps原理の中で、特に“幾何的な実体原理”（必ず幾何的な実体が対応している）が大きく関連していることが、浮かび上がってくる）

　言い換えれば、これまでの“一般3Steps理論”と、その考察が持つ数学的な要素は──
　多くの幾何（図形（“4角形”、“4面体”…）、“フラクタル幾何”…）とごく少しの簡単な数式だけであったと言える。

　しかし、決して── 　これまで成功してきた“理論物理学”の所産である“数式”を完全に無視して出来上がった所産ではない。

　ニュートンの運動の方程式〈第1〜第3、F＝maを含む〉
　万有引力の法則
　クーロンの法則
　マクスウェルの4つの方程式（電場のガウスの定理、磁場のガウスの定理、ファラデーの法則、アンペール‐マクスウェルの法則）
　シュレーディンガーの方程式
　ハイゼンベルグの不確定性原理
　ディラック方程式（粒子と反粒子）
　アインシュタインの相対性理論（光速度不変の原理、E＝mc²、アインシュタイン方程式…）
　…


　これらの大成功をおさめてきている理論物理学の偉大な所産──　原理、法則、方程式…　が示す内容と、可能な限り合致するように育まれて来ているものが、“EMOES”（素スピノールからの創発モデル）なのである。


　このようにして育まれている“EMOES”（素スピノールからの創発モデル）について、次の仮説を立てる。

　仮説15.0　“EMOES”（素スピノールからの創発モデル）は、一見、抽象的で、物理的なイメージを持ちにくいとされる“理論物理学の方程式”が意味している“幾何的な実体像”を、表現している。

　正しければ、これらの原理や法則、方程式が、「なぜ、成り立つのか？」を、“EMOES”（素スピノールからの創発モデル）が説明できることになると思われる。

　例えば、
　なぜ、慣性の法則が成り立つのか？
　なぜ、F＝ma が成り立つのか？
　なぜ、マクスウェルの4つの方程式が成り立つのか？
　なぜ、アインシュタインのE＝mc²の式が成り立つのか？
　なぜ、慣性系で、光速不変となるのか？
　なぜ、量子ゆらぎ（電子の波動）が生じるのか？
　…

　を、ある程度説明できるので、この仮説は、的外れではないと思われる。



　「みのりある科学的思考なら、どんな場合でもつねに直観と抽象の相互作用がみられます。」とあることから分かるように、一般3Steps理論＆“素スピノール創発モデル”が示す世界観を、どのような“抽象的な数式”で表現できるかの探究も当然、重要であり、その発展は、今後の課題の1つである。

　EMOES（“EMOES”（素スピノールからの創発モデル）〈Emergent Model of Elementary Spinors〉）を記述する方程式は、どのようになるであろうか？

　素スピノールの振る舞いを決めるルールには、次のようなものが挙げられると思われる。

　　1.　素スピノールの数に応じてふるまいが変わる。（ボース粒子、フェルミ粒子の性質と関連？）
　　　　　　2つ→安定、　3つ→カオス
　　2.　共転回する際のルール
　　　　　（マクスウェルの方程式2＆4（ファラデーの法則＆アンペール‐マクスウェルの法則）が
　　　　　　なぜ成り立つかを説明できると考えられる）
　　3.　 転回周期とエネルギーを決めるルール、光子　E・T＝h　　　重力子　E・T＝h/2π
　　　　　（「時間の流れが一様なら、エネルギー保存則が成り立つ」という考えと関連していると思われる）
　　4　　質量＆電荷と、空間の状態を決めるルール
　　　　　（プランク質量＆プランク電荷、プランク定数、プランク距離、プランク時間とも関連、
　　　　　　アインシュタインの相対性理論やクーロンの法則が、なぜ成り立つのかわ説明できると思われる）

　詳細は、今後の課題である。



　一方、一般3Steps理論そのものは、どのような数式で表現されるのであろうか？

　それは、おそらく、方程式（“等式”）ではなく、“不等式”が多く登場するような数式の集合であろうと想像される。
　（なぜなら、例えば、「密度（『In　Out』と関連）が○○より大きいという条件では──
　　　　　　　“『Against』<『For』”→『On』　　“『Against』>『For』”→『Off』　となる」
　　　等々のような内容が、何らかの不等式で表記されるだろうと考えられるからである　　→参考『7つのコンパス』）

　※後に、線形の世界、常微分方程式の世界は、計算可能である一方──　 複雑系の世界、ライフの世界、非線形の現実の世界は、一般的に、“計算不可能”になることを学んだ。（参考　『明日をどこまで予測できるか　「予測する科学」の歴史と可能性』　ディビッド・オレル　早川書房）
　つまり、一般3Steps理論が表現する世界を、仮に“方程式”で表したとしても、計算が不可能となることが多く発生することが予想される。

　※もしかしたら、一般3Steps理論は、この“計算不可能な現実の世界”を説明してくれたり、“計算不可能な世界”でさえ、ある程度の予測を立てさせてくれたりする、という、実用的な意味でも、存在意義があるのかもしれない。

　※一般に、物理法則は、生命に比べれば、予測する能力が高いと思われている。
　（例えば、ニュートン力学に従う天体の運動。
　　生命の世界が、とりわけ予測できない面が強いのは、生命には、“書き換え可能性”があるからであり、そして、生命には、ターンオーバーがあるからであると考えられる。）

　しかし、（仮に“カオス”などの問題を差っ引いたとしても）　もし、物理法則の世界も、ターンオーバーを経て、（ランダムな）物理の法則（物理パラメーター）の書き換えのプロセスを経るのであれば──　生命と同様に予測できないものである、と言えるかもしれない。

　（なお、“EMOES”（素スピノールからの創発モデル）によると、「量子論の世界が、確率で支配されているので予測できない」ということは実際には起きてないと考えられることは、前に述べた。考察5）


　一方、一般3Steps理論による考察の中身と関連して──
　様々な新たな“数式”（方程式、不等式…）を育んでいけると思われる。　これらは、今後の課題である。
　次は、そのリストである。　（それぞれに関連する考察も併記する）

　　1.時空ポテンシャルエネルギーによって、あらゆるエネルギーを統一する数式　（考察3）。

　　　熱、運動エネルギー、ポテンシャルエネルギー、質量エネルギー、エネルギーの量子的なゆらぎ、
　　　重力場（時空の曲がり）、宇宙定数（ダークエネルギー）…　　あらゆるエネルギーを統一する公式

　※Gとhとcといった定数を、より普遍的な実体を示すと思われる定数（プランク長L_p、プランク時間T_p、プランクエネルギーE_p）で、置き換えることも有効なのかもしれない。　（考察2）


　2.アインシュタインの一般相対性理論の数式を、本質を損なわず実体像と合致した形で、よりシンプルにした数式　（考察2）
　　　重力場を、重力子＆原始ヒッグス場の“4角形”（縮みきったバネ）の総和──“重位勾配”として説明する数式
　　（それは、一般相対性理論を量子化したもの（一般相対性理論と量子論を統一したもの）と言えると同時に、
　　　重力場と電磁場を統一した数式に、つながっていくと思われる）

　→もしかしたら、部分的に完成できているのかもれない。（→考察2　《量子化された重力、重力場の計算》）


　3.量子のゆらぎを、“4角形”（四極子 or 縮みきったバネ）←→“4面体”の働きの総和として説明する数式　（考察4、考察5）　　→もしかしたら、コンプトン波長を求める式、シュレーディンガー方程式、ディラック方程式…　が、それに相当する数式と言えるのかもしれない。
　「重力子＆“4角形”（縮みきったバネ）」の密度が高まると、“量子的なゆらぎ”が消失することを説明する数式。

　　1〜3の数式により、一般相対性理論と量子力学の関係がより明確になると思われる。



　4. 3.に基づいて、新しいブラックホールの周辺、および内部のエントロピーを、より自然と調和した形で計算する数式
　　　（考察11）

　5.熱力学第2法則が成り立つ条件（初期条件）を示す数式　（考察11）

　6.Δ光子を介する“原始的な力”（原始的な電磁気力）についての数式　　（考察6）

　※“ゲージ原理”が役立つかもしれない。　そもそも、“ゲージ原理”は、抽象的な数学理論として育まれてきたものであり、電磁気力、強い力、弱い力…　をうまく説明してきているとのことである。
　“ゲージ原理”が意味する幾何学的な実体は何であろうか？
　 それは、もしかしたら、各種のスピノールの“転回のしかた”なのかもしれない。
　例えば、電荷から仮想光子が生じるのは、“EMOES”（素スピノールからの創発モデル）によると、「電荷の素スピノールと、電磁場（原始ヒッグス場）の素スピノールがペアを作り、一緒に転回すること」によって生じている。　この“一緒に転回すること”を仮に“共転回”と呼ぶならば、まさに、この“共転回”が、“局所的なゲージ変換を、相殺するかたちでゲージボソンが生じる”ということに相当すると解釈できるかもしれない。　詳細な検討は、今後の課題である。

　7.　: :と∴の比から、標準モデルの各種の物理定数（パラメーター）を求める数式　　（考察10）

　　それは、宇宙のはじまりを説明する数式につながっていくと考えられる。

※標準モデルの物理定数（パラメーター）は、“一般3Steps理論の不等式”によってしぼり込まれてくることも考えれる。
　標準モデルの物理定数（パラメーター）を、より厳密に求めるために役立つものは、
　もしかしたら、“素スピノールの統計力学”のような手法よりも、 “素スピノールの物性物理、結晶学、個体構造論、凝縮系物理学…”のような手法なのかもしれない。　また、ヘリウム4の挙動から類推することも役立つかもしれない。
　なぜなら、素スピノールたちは“理想気体”のようにバラバラ存在するのではなく──　 固体（結晶格子）、液体ヘリウムのように相互作用すると考えられるからである。　そして、なぜなら、宇宙のはじまりという極限状態の描写は──　 “超高温”（理想気体としての近似と関連）よりも、“超高圧”（金属などの結晶としての近似と関連）がふさわしいかもしれないことを、これまでの一般3Steps理論の考察の内容が示しているからである。

　当然、“素スピノールたちがバラバラ存在するのではない”ことは、“弦によって結びついているから”と解釈できるので、弦理論も、おおいに役立つと考えられる。


　8.　電子やニュートリノ、クォークの…の質量を計算で求める数式
　　※原始ヒッグス場の“4角形”（縮みきったバネ）、および各種のヒッグス場由来の“4角形”（四極子）が質量と関連していると考えられることは、すでに示した。（考察8）

　9.“ダークエネルギー”や“ダークマター”を説明する数式。
　　※“ダークエネルギー”は、重力ポテンシャルエネルギー（≒原始ヒッグス場の“4角形”（縮みきったバネ）が持つエネルギーの総和）と関連、“ダークマター”は、プレオン∴×4（グルーオン×2）の「“4面体”←→“4角形”（四極子）」と関連すると考えられることは前に述べた。（考察3）

　10.“EMOES”（素スピノールからの創発モデル）の反応式が、実際に起きるかどうかを判定できる数式
　　　（考察14）

　11.　W理論（“EMOES”（素スピノールからの創発モデル））を補強する（裏付ける）“進化したM理論”の数式。
　　　“EMOES”（素スピノールからの創発モデル）についての“厳密かつシンプルな数式”による記述。　（考察8）

　…


　これまで、一般3Steps理論および“EMOES”（素スピノールからの創発モデル）が提案している、様々な幾何的な説明（実体像の視覚化の試み）は、「陽子のまわりを、電子が円運動している」という説明ほどにラフなものであり──　 “本当の自然の姿”に近づくために、まだまだ“改善の余地”があると思われる。

　しかし、たとえイメージが不完全であったとしても──　有用なヒント（前提）を与えてくれる可能性があると考える。

　なぜなら──

　ニュートンが、ニュートン力学を完成させるために、「地球が太陽のまわりを（楕円軌道をつくって）まわっている」という幾何学的なイメージが必要不可欠であったはずであるように──

　「陽子のまわりを、電子が円運動している」という幾何学的なイメージが、より厳密な説明（例えば、“シュレーディンガー方程式”等の数式）に至るために、有効な“インスピレーション”を与えていたはずであるように──

　マクスウェルが、“マクスウェルの方程式”を構築する際、ファラデーが作った近接力をもたらす場のイメージが、必要不可欠であったはずであるように──

　「幾何（図形、視覚）的なイメージ」→「数式」という流れは、これまで、非常に有効に働いてきたからである。


　そして、例えば、もしニュートンが「太陽が地球のまわりを回っている」という天動説のイメージに支配されていたとすれば、ニュートン力学は、絶対に実現しなかったはずであろうことを思うとき──　　自然（nature）とある程度、合致した「幾何的なイメージ」でなければ、意味がないことがわかる。


　これまで、観測不能となってしまった分野（レベル）については── 　そのような幾何的なイメージ（幾何的な実体像）を構築するためのよりどころが、全くと言っていいほど、なくなってしまったのではないだろうか？

　あったよりどころは、ほとんど、抽象的な数式だけになってしまったのではないだろうか？
　いつからか、幾何学的な実体像（図形的なイメージ）をつかめなくなったまま──　 基本的に、抽象的な数式のみを頼りにして、自然（nature）を探究するようになってしまったのではないだろうか？
　（実体像がよくわからないまま、数式に頼りながら、発展することとなったものの典型的な例の1つが量子論（量子力学、場の量子論）である）


　しかし、今──　 その“人間にとって、どうやっても観測困難さを伴ってしまうような未知の分野”についての「幾何的な実体像」を開拓するための、よりどころの候補として、まさに“3Steps理論”があるのである。
　そして、この“3Steps理論”が提供してくれる“よりどころ”（コンパス）をもとに探究した結果、誕生したものが、“EMOES”（素スピノールからの創発モデル）にほかならないのである。

　この“EMOES”（素スピノールからの創発モデル）を活用することによって──
　例えば、かつて「天動説から地動説へ」のシフトにより、複雑難解な“周天円”の数学から開放されたように──
　既存の分野における、複雑難解な数式・数学から開放され、よりシンプルでより本質をつかんだ数式・数学に至ることも、十分にありうることなのかもしれない。

　そして、よりシンプルで、より本質的で正確な“幾何学的な実体像”を欠いていたがために、数式・数学が（たとえ自然と合致していたとしても）複雑難解になってしまっていたことに気づくことが、多々見つかるかもしれない。

　（例えば、弦理論（超弦理論）（考察8）。　ループ量子重力理論（考察7）。　一般相対性理論（考察2）。　場の量子論（ゲージ原理）（考察5、6）…）

　※「よりシンプルで、より本質的で正確な“幾何学的な実体像”」とは──　 例えば、量子力学でよく用いられるような“針金をクルクル巻いたバネ”、一般相対性理論で“時空の曲がり”を説明するためによく用いられるような“2次元平面をへこませたもの”、強い力の色荷を説明するために用いられるような“光の三原色”…　といった“比喩的なイメージ”を越えた、自然（nature）と合致した実体像である。



　よりズームインした世界（よりミクロの世界）の“自然（nature）”は、実際は、もっともっとシンプルなのではないだろうか？



　やはり──
　どんなに美しく、矛盾がなく、正確な数式であっても、もし、その前提（幾何的なイメージ）が現実と解離していれば、その数式が示す結果は、現実（真実、実在、実際、実験結果、観測結果…）と解離してしまうだろう。
　（それは、どんなに、美しく、矛盾がなく、正確な“文章”であっても、現実と解離しうる──　 そのことと同様である）

　そこで、その前提（幾何的なイメージ）を現実と合致させるために──　 一般3Steps理論とその所産（“EMOES”（素スピノールからの創発モデル））が役立つと思われる。
　そしうして、前提が現実と一致すれば、“数式”と“自然（nature）”が合致するであろう。

　そして、一般3Steps理論とその所産（“EMOES”（素スピノールからの創発モデル））は、よりズームインした世界が、よりシンプルであることを、明らかに示している──。



　よって、“自然（nature）と、より合致した数式”の性質について、次の仮説を提唱する。

　仮説15.1　“シンプル一様化原理”により── 　 よりズームインするほど（よりミクロの世界に進むにつれ）、幾何がシンプル化するのみならず、数式もシンプル化する。


　 「ズームインすればするほど、複雑で難解な数式の山が必要である」「ミクロの世界になればなるほど、複雑で理解するのが難しい幾何構造が実在するにちがいない」という呪縛から開放されるべきであるかもしれないことを、一般3Steps理論や“EMOES”（素スピノールからの創発モデル）は、示しているのである。

　（一般3Steps理論で提案されている“幾何的な実体像（モデル）”の説明に要する数学は──　 現に、例えば、プランクエネルギーを求める計算、重力を量子化する計算がそうであったように、多くは、数字“1、2、3”程度レベルとその四則演算の所産レベル、あるいは、せいぜい「高校数学レベル」だけで済むと言えるのかもしれない）

　もしかしたら、このあたりに、一種の、有効な“パラダイムシフト”の可能性の広がりが、明確に示唆されているのかもしれない。

　※考察8でも取り挙げた、ウィッテン氏の言葉──　「M理論とは一体何なのか──この理論がどんな物理を表現しているのか──を理解すれば、過去の科学上の大変動に劣らない根本的な転換が起こる」（『エレガントな宇宙』p425より抜粋）の中の「根本的な転換」とは何か？　　それは、もしかしたら、「“弦”から“素スピノール”への転換」や 「M理論から、“M＆W理論へのパラダイムシフト”」のみならず──　　「ズームインするほど（よりミクロの世界に進むにつれ）、幾何がシンプル化するのみならず、数式もシンプル化する。」ということも、含まれると思われる。


　数式は、“厳密である”ことが必要で大切である。　しかし、“複雑難解である”ことは、必ずしも、必要ではない。

　もし、ある数式が、自然（nature）と一致しているならば──　 複雑難解であることにも価値があるだろう。
　しかし、ある数式が、もし、自然（nature）とズレていれば、複雑難解であることには、何の意味もないし、むしろ害である。



　15.1の仮説は、次のように言い換えることもできる。

　仮説15.2　（ズームインしてみたところの）ミクロの世界について、幾何的なイメージを思い描けないほど“数式が抽象的で複雑難解になっている”ということは──　 自然（nature）の本質をつかみ損ねていることを意味している。



　難解な数学（数式、計算…）が得意で、優秀で、勤勉で、有能な物理学者であればあるほど──
　（プロの科学者として活躍しやすいと同時に）現実の自然（nature）から遠ざかってしまう、という悲劇が存在しうること、そして、その悲劇を、賢明に、注意深く回避する必要があることを、これらの考察は、示唆していると思われる。


　数式は、科学において、これまでおおいに役立って来たし、これからも確かに重要なものである。　しかし、“数式至上主義”は、危険である。
　なぜなら、幾何的な実体像をないがしろにすることは、“前提”をないがしろにすることだからである。　そして、その数式に至るための“前提”が自然（nature）と解離していれば、ある数式が、どんなに厳密で、正確で、非の打ち所がなく100点満点であったしても、その数式の所産は、自然（nature）と解離してしまうからである。
　この“数式至上主義”の弊害が、今の理論物理学の世界で、蔓延していないかどうか、吟味が必要であると思われる。


　一方、当然、“幾何至上主義”も危険である。
　厳密で、正確な数式の裏付けを欠くことで、矛盾を抱えてしまったり、迷走してしまったり、説得力を欠いてしまったり…　 ということが起こりうるからである。
　この“幾何至上主義”の弊害が、私の研究成果の中に蔓延していないかどうか、当然、今後とも吟味が必要である。

　※やはり、「みのりある科学的思考なら、どんな場合でもつねに直観と抽象の相互作用がみられます。」の言葉がよくあてはまると思われる。

　数式と幾何は、本来、互いに補い合い、互いに洗練され、シナジェッテックに進化していくべきものなのだ。
　もし、これらの数学（数式と幾何）が、自然（nature）と調和する形で、より洗練され、シナジェッテックに進化することができたならば──　　定性的な見通し”（定性的な予測（prediction））のみならず、（場合によっては）“定量的な見通し”（標準モデルの物理定数を含む、数字的な予測（prediction））さえも、ある程度得られだろう、と私は考える。

　自然（nature）と合致した、幾何的なイメージが“前提”を提供し、
　その“前提”の上に、より自然（nature）と調和した、厳密＆正確な数式が展開されたり──

　逆に、自然（nature）と調和した、厳密＆正確な数式が新たな“予測”をし
　“予測”の上に、より自然（nature）と合致した、幾何的なイメージが育まれる──

　それがくり返され続ければ、鬼に金棒である。


　※やはり、“M理論とW理論の共進化”は、大きなキーポイントの1つであると思われる。　（考察8）