9《量子化された重力、重力場の計算》


　上の4《重力の幾何的モデル》で説明したように、（N_MN_mE_G/4π）（1/1²＋1/2²＋1/3²＋…＋1/（n−1）²）＋1/n²）を計算することによって、質量m［kg］に蓄えられる重力ポテンシャルエネルギーU［J］（の絶対値）を導くことができます。
　半径2nL_Pの球殻が持つエネルギーの“時間＆空間”平均値は、E_平均＝N_ME_G/4πn² と求められるのだった。

　以下で、この値を、実際に計算してみます。

　当然、（N_MN_mE_G/4π）×（1/n²）の1からnまでを足しあわせるにあたって、最も大切な計算は、次の級数の計算です。

　　　1＋1/2²＋1/3²＋1/4²＋1/5²＋　…　＋1/（n−1）²＋1/n²


　　一般に、nが自然数とき、次の不等式が成り立つことが、数学的な帰納法によって、証明できます。
　　　（参考　『三訂版　高等学校　基礎解析』（昭和63年）の第3章『数列』の中の第2節　数学的帰納法の中の問題13（2））

　この式は、このタイプの無限級数が発散しないという大事なことを示しています。
　しかし、よく考えると、この不等式の意味することは、「1/x²を1〜nまで積分した面積」の方が、「n≧2について、横1縦1/n² の長方形の面積を足しあわせた面積」より大きいという、おおざっぱで当たり前なことを意味しているにすぎないことがわかります。

　より正確な値を求められないでしょうか？

　調べてみると、『1＋1/2²＋1/3²＋1/4²＋1/5²＋　…　＋1/（n−1）²＋1/n²』の無限級数の値が『π²/6』に収束することが、オイラーによってすでに証明されていたことがわかりました。

　したがって、

　の右辺（2−1/n）において、nを無限大にした際、2に収束してしまうところを、π²/6に収束するように改善すればよいことがわかります。
　すなわち、問題の級数は、近似的ではありますが、より正確に次のように計算できることがわかります。

※なお、このときの、「1/n」は、y＝1/x² をnから∞までの積分によって求めた面積（下図のピンクの部分の面積）に相当しています。
　つまり、「1/n² を1から∞まで足しあわせた面積π²/6」から、この「y＝1/x² をnから∞までの積分によって求めた面積1/n（ピンクの面積）」を引くことで、近似的に、「1＋1/2²＋1/3²＋……＋1/n² 」の面積（下図のオレンジの面積の総和）を計算していることになります。

　したがって、　「1/n² を1から∞まで足しあわせた面積π²/6」から、“よけいに大きい値を引いている”ことになりますので、
　厳密には、「1＋1/2²＋1/3²＋……＋1/n²≧　π²/6−1/n」の関係が成立しています。

　（つまり、トータルで　「2−1/n ≧　1＋1/2²＋1/3²＋……＋1/n²≧　π²/6−1/n」ということになります）

　それでも、やはり、nが大きければ大きいほど誤差が小さくなる「π²/6−1/n」が、近似値として「2−1/n 」より、ずっとふさわしいと考えられます。


　以上より、r＝2nL_P［m］の場所で、質量m［kg］に蓄えられる重力ポテンシャルエネルギーU［J］（の絶対値）は、次のように近似的に計算できることになります。

※たとえ“1cm”でも、r＝2nL_P［m］の中のnの値は、n≒0.01m/2×（1.616×10^-35）m≒0.309×10³³と非常に大きなものとなるので、われわれの日常的な距離で考えれば、かなり正確な値になっていると考えられます。

※当然、無限遠方のr＝∞の地点での、質量m［kg］に蓄えられる重力ポテンシャルエネルギーU［J］の絶対値の大きさも、より簡単に正確に求められることになります。すなわち、

　より──　　

　と求まります。



　ニュートン力学における重力ポテンシャルエネルギーの式“−GMm/r［J］”は、無限遠点の重力ポテンシャルエネルギーを0としたときの、相対的なものであるのに対し、先ほど求めたr＝2nL_P［J］の地点で、質量m［kg］に蓄えられる重力ポテンシャルエネルギーの大きさ

は、質量M［kg］の仮想質点における重力ポテンシャルエネルギー0としたときの、絶対的なものです。

※この計算値は、あくまで仮想質点を考えた上でのものです。もし大きさを持った質量M［kg］を考えた場合には、当然、若干の修正が必要になります。

　無限遠方のr＝∞［m］の地点での、質量m［kg］に蓄えられる重力ポテンシャルエネルギーU［J］の絶対値の大きさが、N_MN_mE_p/48 ［J］であるということは、「N_MN_mE_p/48−N_MN_mE_G/4πn［J］」の中で、ニュートン力学における重力ポテンシャルエネルギーの式“−GMm/r［J］”に相当する部分は、まさに、この式のマイナス項、「−N_MN_mE_G/4πn［J］」に他ならないことを意味します。

　このことは、質量M［kg］の物体が、質量m［kg］に与える重力ポテンシャルエネルギーの式“−GMm/r”を次のように変形できることからも確かめられます。
　　−GMm/r＝−（Mc²/M_P）×L_P×（1/2nL_P）×m
　　　　　　　　（「プランク距離を求める式L_P＝（hG/2πc³）^1/2」を変形して得られる、G＝2πc³L_P²/h＝c²L_P/M_P　を使用）
　　　　　　 ＝　−N_ME_G/4πn　×（2πm/M_P）　　　（N_ME_G＝（M/M_G）E_G＝Mc²［J］を使用）
　　　　　　 ＝　−N_ME_G/4πn　×（m/M_G）　　（M_P/2π＝M_G［kg］を使用）
　　　　　　 ＝　−N_MN_mE_G/4πn［J］　　（m/M_G＝N_m［個］を使用）


　以上より、素スピノール物理学パラダイムに基づいて量子化された重力ポテンシャルエネルギーの計算結果──
　（質量M［kg］の仮想質点を想定した場合の）r＝2nL_P［m］の地点での、質量m［kg］に蓄えられる重力ポテンシャルエネルギーU［J］の絶対値 N_MN_mE_P/48−N_MN_mE_G/4πn［J］は、ニュートンの万有引力の法則（ニュートンの重力理論）と調和していると言えます。



　重力ポテンシャルエネルギーと重力を整理すると次のようになります。

　以上のような素スピノル物理学パラダイムに基づく「量子化された重力ポテンシャルエネルギー」や「量子化された重力」のいずれにおいてみ、r［m］が小さくなっても（2nL_P［m］において、n＝1となっても）無限大は生じません。

※それは、 ニュートンの万有引力の法則（ニュートンの重力理論）において、r［m］が0に近づくことによって、無限大が生じてしまうことと対照的です。


　素スピノル物理学パラダイムによる重力ポテンシャルエネルギー、重力の量子化は、無限大が生じないというメリットがあることわ含めて、おおむね成功していると思われます。


　しかし、以上の説明は、重力理論の量子化に完全に成功していると言うには、まだ十分ではありません。
　なぜなら、アインシュタインの重力理論、すなわち、一般相対性理論との調和性について、まだ示せていないからです。

　アインシュタイン方程式との整合性を含め、アインシュタインの重力理論（一般相対性理論）についての、素スピノル物理学パラダイムによる説明は、13《アインシュタイン方程式（“重力場の方程式”）》）にて示します。